建模生肖

12生肖趣味数学题

在中国古代，人们用干树枝来确定年份，其中十二根树枝对应十二种动物，称为十二生肖。生肖涉及人们生活的方方面面，形成了源远流长的生肖文化。在许多有趣的数学问题中，许多都与黄道十二宫有关。编译它们也是一件有趣的事情。

老鼠穿墙问题

中国古代最重要的数学书《九章算术》里有一个老鼠穿墙的有趣问题。大致思路如下：

现有的墙有5英尺厚，两只老鼠正在墙的两边打洞。第一天，每只老鼠挖一个1英尺的洞。之后，大鼠每天的进度是前一天的两倍，小鼠每天的进度只有前一天的一半。两只老鼠相遇几天？

这是《九章算术》第七章第十二题。本章专门讨论“余缺”问题。余缺是中国古代特有的算法，在数学发展史上占有重要地位，对后世数学的发展产生了重要影响。从方法论的角度看，盈缺法包括建模法、归约法、逼近法和近似法。本题目是用余缺技巧给出模型，然后用逼近法求出解的近似值。如果要用现代数学方法，可以用等差数列列方程，然后求根的近似值。

两头牛吃草。

比如著名数学家阿基米德、牛顿都整理过与牛有关的有趣的数学问题，牛顿提出了一个“牛吃草”的问题：

有三个牧场，那里的草长得又密又快。他们的面积分别是10/3，10和24英亩。第一个牧场可以养12头牛4周，第二个牧场可以养21头牛9周，如果第三个牧场需要18周，应该养多少头牛？

这个问题有很多解法，但牛顿特别喜欢他的算术解法。

至于阿基米德的牛问题，是一首由22对对句组成的长诗，发现于1773年的一份希腊手稿。

三只老虎和狐狸

人们熟悉史密斯的寓言，但老虎毕竟不是吃素的。一旦他们识破了狐狸的诡计，就会毫不留情地杀死狐狸。于是，就有了下面这个有趣的数学题：

一只老虎在离它10米远的地方发现了一只狐狸，立即扑向它。老虎跑7步，狐狸跑11步，但是狐狸的频率快。老虎跑三步，狐狸能跑四步。问老虎能不能追上狐狸。如果能追上，老虎会跑多少米？

一只老虎能跑66米赶上一只狐狸。有趣的是，我们不知道老虎和狐狸的速度，但我们可以得到问题的答案。

斯朗普图

斐波那契数列最初是一个基于兔子繁殖的有趣的数学问题，后来发展成为数学的一个重要分支。

欧洲文艺复兴时期，著名艺术大师达芬奇提出了一个“饿狼扑兔子”的有趣问题：

如图2，C点是兔子洞。一只兔子在洞口以南60米的O点觅食。一只饿狼在兔子东边100米的A点徘徊。突然，兔子回头一看，遇到了饿狼贪婪狰狞的眼神，预感到大祸临头，赶紧掉头逃回自己的山洞。太晚了。当饿狼看到来到自己嘴边的食物会逃跑时，它不会停下来。他立刻以两倍于兔子的速度紧紧地跟着兔子。这只饿狼能抓到兔子吗？

图1

这是一个很有意思的问题。因为狼总是紧紧盯着兔子，所以会不断改变它的运动方向。它运行的路线不是直线，而是曲线。兔子安全进洞时，狼在离洞口两米左右的地方，看着兔子逃进洞里。如果饿狼不“盯着兔子”，而是把眼光放远，直奔洞口，然后在洞口“等兔子”，兔子也难逃厄运。

图2

五个分形和龙

自然界中有许多形状和现象复杂的物体，如崎岖的山势、纵横交错的河流、蜿蜒的海岸线、奇形怪状的云朵等。这些都是混沌现象。这些东西的形状叫做分形，分形是混沌前沿科学的一个重要分支。分形有两种类型，一种是几何分形，另一种是随机分形。我们知道，直线是一维的，正方形是二维的，圆柱体是三维的，分形维数是分数。下面这个叫做“龙”的图形是一个分形，它是由一个叫J. E. Hayway的物理学家首先发现的。

六条黑蛇进入洞穴。

在任何有趣的数学读物中，都不难发现古印度(公元9世纪)数学家马哈普罗的“黑蛇进洞”问题：

一条长80安古拉(古印度的长度单位)的大黑蛇，在第十四天以七个半安古拉的速度爬进洞里，而蛇的尾巴每四天长十一个四分之一安古拉。请问黑蛇完全爬进洞需要多少天？

解出这个一元方程并不难。大黑蛇完全入洞需要8天。

103010曾经提出过一个有趣的问题“双头蛇的数量”:

在正整数n的开头和结尾加1，得到一个新数。如果新数是原数的99倍，则称n为“双头蛇数”，并试着找出n。

你能找到这个号码吗？N=112 359 550 561 797 752 809是一个“双头蛇的数量”。

奇奇利马

韩愈说：“世间有伯乐，而后有千里马；千里马常见，伯乐不常见。”在《美国游戏数学杂志》的盈缺篇第19题中，我们可以找到一匹“千里马”:

今好马妻送长安齐，皆往长安三千里。一匹好马一天走190英里，增加13英里。徐的行程，初则九十七里，日则减半。好马先到，好马遇徐。求几何日见面和每条线的几何？

103010用余缺法解决这个问题，得到了近似值。诸如

图3

在棋盘上建立直角坐标系，设马的位置在点P（x0，y0）处，因为马走“日”字，如图3所示，马从O（0，0）出发，每跳一步之后，只能到达A、B、C、D、E、F、G、H这8个点，在每一个点两个坐标的和要么增加了 3或－3，例如A（ 3）、E（－3），要么增加了＋1或－1，如C（ 1）、G（－1），总之是增加或减少了一个奇数。连跳13步，仍然是增加或减少了一个奇数。P点两个坐标之和为2 1=3，Q点两个坐标之和是4 8=12，两个坐标之和增加了9，9是奇数，只要能想办法把它分成13个绝对值小于等于3的奇数之和，就找到了一种跳法。例如9=3－3 3－3 3－3 3－3 3 3 3－3，就对应一种跳法。请你试一试，一共能找到几种跳法。

至于连跳14步，两坐标之和将增加一个偶数，是无法从P跳到Q的。

八百羊问题

明代数学家程大位（1533-1606）的《算法统宗》第十二卷载有“百羊问题”，在国际上流传颇广，这道题是用诗歌的形式写成的：

甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后。戏问甲及一百否？甲云所说无差谬。

若得这般一群羊，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？

大意是：甲全部的羊，加上一半（半群），再加上四分之一（小半群），再加上乙的一只羊，恰好凑成一百只羊。你知道甲有多少只羊吗？

九五猴分桃

用猴子为对象的趣味数学问题很多，特别有名的是下面的“五猴分桃”问题：

有5只猴子在一个小岛上发现了一堆桃子，它们想平均分配，但无论如何也分不开。天色已晚，于是大家相约去睡觉，明天再分。夜里，第一只猴子趁大家熟睡之际，偷偷爬到桃子边，先取一个吃了，剩下的恰好可以平均分作5份，这个猴子将其中一份藏了起来，然后重新去睡觉。过了一会，第二只猴子又爬起来，在剩下的桃子中取一个吃了，剩下的也恰好可以平均分成5份，它也将其中的一份藏起来然后去睡觉。接着第三只、第四只猴子都先后偷偷起来，照此办理：先吃掉一个，然后把剩下的五份中的一份藏起来。最后第五个猴子起来，拿一个桃子吃了，剩下的桃子仍然可以平均分成5份。请问这堆桃子最少有多少只？

与猴子有关的还有另一个“猴子分花生”问题：

将1600颗花生分给100个猴子，证明：不管怎样分，至少有4只猴子分得的花生一样多（有的猴子分不到花生也算是一种分法）。并设计一种分法，使得没有5只猴子分得的花生颗数一样多。

这是五十年代北京市的一道数学竞赛试题，以后流传很广。

十百钱买百鸡

对于鸡，有一个几乎是一个家喻户晓的趣味数学问题。我国古代数学著作《张邱建算经》中有一道著名的“百鸡问题”：

今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？

这是一道关于不定方程的问题，在国内外流传极广。例如德国人约翰涅斯·列曼写的一本《趣味数学》书中，就有一个古代越南的数学问题：

用100捆草喂100头牛。站着的壮牛吃5捆，躺着的牛吃3捆，老牛三条合吃一捆。问站着几条壮牛，躺着几条牛，几条老牛？

这个问题显然是将“百鸡问题”移植过来的。

十一来回奔跑的狗

甲、乙两人从相距100公里的两地相对而行。甲、乙的速度分别为6公里和4公里。甲带了一条狗，与甲同时出发，碰到乙时即回头向甲这边跑；碰到甲时又回头往乙这边跑。这样不停地往返，直到甲、乙二人相遇为止。狗的速度为每小时10公里，问狗一共跑了多少公里？

这是在数学界广泛流传的一段数学家的趣闻逸事。据说我国著名数学家苏步青有一次在德国的电车上碰到德国一位有名的数学家，那位数学家请苏步青做这道题。由于苏步青教授的名气，题以人传，这道题便广泛流传开了。这道题其实并不难。因为“路程=速度×时间”，狗的速度每小时10公里是已知的，狗奔跑的时间就是甲、乙两人相遇的时间，很容易算出来（两人相对而行的行程问题），速度和时间知道了，路程也就知道了。

十二买猪问题

《九章算术》中有一个“买猪问题”：

今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何。

这个问题太简单，我想把它改造一下：

某人去买猪，若买一批每头价450元的小猪，还剩100元；若买一批每头价530元的小猪，还差110元。问此人最少带了多少钱去买猪？

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